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三角函数公式整理

三角无难题

——陈洁

本文与Andy Y.合作完成

(一个人打那么多LaTeX会死的)

基础公式

和差角公式

本 尊

$\displaystyle \sin( \alpha \pm \beta ) =\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $

$\displaystyle \cos( \alpha \pm \beta ) =\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta $

二倍角公式

有时逆用比正用还多

公式本体

$\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha $

$\displaystyle \cos 2\alpha =\cos^{2} \alpha -\sin^{2} \alpha =2\cos^{2} \alpha -1=1-2\sin^{2} \alpha $

$\displaystyle \tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-\tan^{2} \alpha }$

衍生出的升幂降幂公式

$\displaystyle \sin^{2} \alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$

$\displaystyle \cos^{2} \alpha =\frac{\cos 2\alpha -1}{2}$

和差化积

$\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin\frac{\alpha +\beta }{2}\cos\frac{\alpha -\beta }{2}$

$\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos\frac{\alpha +\beta }{2}\cos\frac{\alpha -\beta }{2}$

$\displaystyle \tan \alpha \pm \tan \beta =\frac{\sin( \alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }$

积化和差

$\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2} [\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )]$

$\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2} [\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta )]$

$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2} [\sin (\alpha -\beta )+\sin (\alpha +\beta )]$

辅助角公式

遇到1,根号3或者两个1要敏感

公式

$\displaystyle a\sin \alpha +b\cos \alpha =\sqrt{a^{2} +b^{2}}\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}\sin \alpha +\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}\cos \alpha \right)$

令$\displaystyle \phi =\arccos\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}} =\arcsin\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}$

$则原式=\sqrt{a^{2} +b^{2}} (\sin \alpha \cos \phi +\cos \alpha \sin \phi )$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{a^{2} +b^{2}}\sin (\alpha +\phi )$

常见结论

①$\displaystyle \sin \alpha \pm \cos \alpha =\sqrt{2}\sin\left( \alpha \pm \frac{\pi }{4}\right)$

②$\displaystyle \cos \alpha \pm \sin \alpha =\sqrt{2}\cos\left( \alpha \pm \frac{\pi }{4}\right)$

③$\displaystyle \sin \alpha \pm \sqrt{3}\cos \alpha =2\sin\left( \alpha \pm \frac{\pi }{3}\right)$

万能公式

常规运算中很少用到,用于化同名

$\displaystyle 设t=\tan\frac{\alpha }{2} ,则\sin \alpha =\frac{2t}{1+t^{2}} ;\cos \alpha =\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} ;\tan \alpha =\frac{2t}{1-t^{2}}$

无名式

大大节约运算时间

$\cos\frac{\pi }{2k+1} +\cos\frac{3\pi }{2k+1} +\cdots +\cos\frac{(2k-1)\pi }{2k+1} =\frac{1}{2}$

$\cos\frac{2\pi }{2k+1} +\cos\frac{4\pi }{2k+1} +\cdots +\cos\frac{2k\pi }{2k+1} =-\frac{1}{2}$

“变用”公式

常用变形#1

公式:

$\displaystyle 1+\cos \alpha =2\cos^{2}\frac{\alpha }{2}$

$\displaystyle 1-\cos \alpha =2\sin^{2}\frac{\alpha }{2}$

举个例子:

$\displaystyle 若\ 2\sin^{2} \alpha =1+\cos\alpha ,且\alpha \neq k\pi ( k\in \mathbb{Z}) ,求\tan\frac{\alpha }{2}$

解答如下:

$\displaystyle 2\cdot 2\sin\frac{\alpha }{2}\cos\frac{\alpha }{2} =2\cos^{2}\frac{\alpha }{2}$

$\displaystyle 2\sin\frac{\alpha }{2} =\cos\frac{\alpha }{2}$

$\displaystyle \because \alpha \neq k\pi ( k\in \mathbb{Z})$

$\displaystyle \therefore \cos\frac{\alpha }{2} \neq 0$

$\displaystyle \therefore \tan\frac{\alpha }{2} =\frac{1}{2}$

常用变形#2

公式:

$\displaystyle 1\pm \sin \alpha =\left(\cos\frac{\alpha }{2} \pm \sin\frac{\alpha }{2}\right)^{2}$

We’ve tried our best but didn’t find any example for this :(

常用变形#3

公式

$\displaystyle m+n\tan \alpha =\frac{m\cos \alpha +n\sin \alpha }{\cos \alpha }$

举个例子:

求值:$\displaystyle \sin 50° \left( 1+\sqrt{3}\tan 10° \right) .$

解:原式$\displaystyle =\sin 50° \times \frac{\cos 10° +\sqrt{3}\sin 10° }{\cos 10° }$

$\displaystyle =\cos 40° \cdot \frac{2(\sin 30° \cos 10° +\cos 30° \sin 10° )}{\cos 10° }$

$\displaystyle =\frac{\cos 40° \cdot 2\sin 40° }{\cos 10° }$

$\displaystyle =\frac{\sin 80° }{\sin 80° } =1$

常用变形#4

公式:

$\displaystyle 1+\sin \alpha +\cos \alpha =2\cos^{2}\frac{\alpha }{2} +2\sin\frac{\alpha }{2}\cos\frac{\alpha }{2} =2\cos\frac{\alpha }{2}\left(\cos\frac{\alpha }{2} +\sin\frac{\alpha }{2}\right)$

举个例子:

$\displaystyle 化简:\frac{( 1+\sin \alpha +\cos \alpha )\left(\cos\frac{\alpha }{2} -\sin\frac{\alpha }{2}\right)}{\sqrt{2+2\cos \alpha }}$

$\displaystyle 原式=\frac{2\cos\frac{\alpha }{2}\left(\cos\frac{\alpha }{2} +\sin\frac{\alpha }{2}\right)\left(\cos\frac{\alpha }{2} -\sin\frac{\alpha }{2}\right)}{\sqrt{2} \times \sqrt{2\cos^{2}\frac{\alpha }{2}}}$

$\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\cos\frac{\alpha }{2}\cos \alpha }{|\cos\frac{\alpha }{2} |}$

$\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\begin{cases}
\cos \alpha & \alpha \in [ -\pi +4k\pi ,\pi +4k\pi ) ,k\in \mathbb{Z}\\
-\cos \alpha & \alpha \in [ \pi +4k\pi ,3\pi +4k\pi ) ,k\in \mathbb{Z}
\end{cases}$

常用变形5:

公式

$\displaystyle \frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha } =\frac{\tan 45° +\tan \alpha }{1-\tan 45° \tan \alpha } =\tan( 45° +\alpha )$

举个例子

$\displaystyle \frac{1+\tan 15° }{1-\tan 15° }$
(太简单了,不加过程)

常用变形#6

没有公式

秘技:从 结 构 入 手

举个例子

已知$\displaystyle \alpha ,\ \beta \in \left( 0,\ \frac{\pi }{2}\right) ,$且$\displaystyle \sin \beta =\cos( \alpha +\beta )\sin \alpha ,$求证:$\displaystyle \tan \beta =\frac{\sin 2\alpha }{2+2\sin^{2} \alpha }$

证:$\sin \beta =\cos \alpha \cos \beta \sin \alpha -\sin \alpha \sin \beta \sin \alpha$

$\displaystyle \tan \beta =\sin \alpha \cos \alpha -\sin^{2} \alpha \tan \beta$

$\displaystyle \tan \beta \left( 1+\sin^{2} \alpha \right) =\sin \alpha \cos \alpha$

$\displaystyle \tan \beta =\frac{\sin \alpha \cos \alpha }{1+\sin^{2} \alpha } =\frac{\sin 2\alpha }{2+2\sin^{2} \alpha }$

证毕.


The End


本文标题:三角函数公式整理

文章作者:DY

发布时间:2020年02月29日 - 18:02

最后更新:2020年03月13日 - 16:03

原始链接:https://hzdy.github.io/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%85%AC%E5%BC%8F%E9%9B%86%E9%94%A6.html

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