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三角函数方法整理

三角函数方法整理

数学是一门巧妙的学科,应该有足够的时间给我们做出最巧妙的方法

By JinChang Yang(Andy Y.)

是否在看到三角函数的时候感到紧张?

是否一看到套在一起的东西就心跳加速?

是否发现别人做题速度比你快一个世纪?

如果是,那你就还是个人。

本文包含大量的“选择”,配合左端大纲观看效果更佳。

“DY!你居然拿这个东西来糊弄我们!”

我的道德可是尤其的高尚

化简求值题

一般遇到这种题答案都是三分之兀的倍数。

用一个等式求一个等式的值

况1:老师仁慈:直接变形,加加减减即可

况2:老师不仁慈:Van能公式强求$\displaystyle \tan \theta $

多个等式的求值题

  • 出现$\displaystyle \cos( \alpha \pm\beta )$、$\displaystyle \sin( \alpha \pm\beta )$之类的:
    • 打开来,加减(和差化积)
    • 当上式子中的内容不和谐时,想想能不能整体带入(注意范围)
  • 出现大量乘积形式,如$\displaystyle \sin \alpha \sin \beta $等
    • 先将每个式子尽可能积化和差化得友好(若可以)
    • 将两式乘,sin两倍角公式
    • 将两式除,尽可能减少未知量
  • 出现大量不友好的单独的三角函数的和与差
    • 乘一乘常常会有意想不到的惊喜
    • 和差化积
    • 强求$\displaystyle \alpha 和\beta$的三角函数值(勇士)
    • 小技巧:已知$\displaystyle \sin \alpha+\sin \beta和\cos \alpha+\cos \beta$可以快速求出$\tan (\alpha+\beta)/2$

在三角形内可以用180转化。

具体数值的求值题

  • 找到合适的角,合一变形
  • 分子、分母复杂,可以分开考虑
  • 可以以特殊角为基准,把其他角用特殊角和未知角的和差关系来表示
  • $\displaystyle \sin2\alpha$的裂开
  • 三角函数积的形式,可以尝试使用和差化积找到特殊角降次
  • 二倍角的通分技巧:$\displaystyle \frac{1}{\sin \alpha } +\frac{1}{\sin 2\alpha } =\frac{2\sin \alpha \cos \alpha +\sin \alpha }{\sin 2\alpha }$
  • 构造法
    • 1、构造几何图形(见上次的三角函数公式“无名式”)
    • 2、构造方程组,如下图,一次性求两个式子

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  • 实在不行,三角爆算

虽然我并不喜欢用脚做题,但是考试时不得不如此

By JinChang Yang(Andy Y.)

证明题

  • 切化弦,弦化切,降次
  • 从目标找方向
  • 注意角的范围
  • 尽量不要积化和差,和差化积(大部分证明题用不到)
  • 不要忘了万能公式

函数大题

$\displaystyle 化简\rightarrow 拆\rightarrow 降次\rightarrow 合一\rightarrow 换元二次函数或直接是三角函数$

一切问题只需要爆算,没有太多技巧。

注意事项

  • 能代整体的代整体·,避免分类讨论
  • 三角换元注意范围
  • cos容易写错,一定注意
  • 三 角 爆 算
  • 诱导公式不要忘了

解三角形

其实两个公式掌握了就全部可以转化为求值题。

解的个数

  • 已知两角一边:正弦定理,仅有一个解

  • 已知两边和其中一边的对角:正弦定理,分类讨论。(下表为已知A,a,b)

A为锐角 A为锐角 A为锐角 A为钝角
关系式 a=bsinA bsinA<a<b A>=b a>b
解的个数 1 2 1 1

_由于语法关系,无法插入图形。_

  • 已知三边,用余弦定理,仅有一解
  • 已知两边和夹角,必有一解

面积公式

$\displaystyle S=\frac{ah}{2}$

$\displaystyle S=\frac{1}{2} ab\sin C$

$\displaystyle S=2R^{2}\sin A\sin B\sin C$

$\displaystyle S=\frac{abc}{4R}$

$\displaystyle S=\frac{1}{2} Cr$

$\displaystyle S=\sqrt{p( p-a)( p-b)( p-c)}$

实际问题中常见的概念

  • 俯角、仰角:A看B的仰角=B看A的俯角

  • 方位角:注意哪里偏哪里,不要看错了

常用方法/注意事项

  • 用正弦定理和余弦定理在同一个三角形中构建方程
  • 用余弦定理在两个三角形中关于一条相等的边构造方程
  • 齐次式用正弦定理可以边角互相转化
  • 发觉向量数量积和余弦的关系
  • 因式分解是个好东西,可是不容易被发现
  • 计算!!!!!!

本文标题:三角函数方法整理

文章作者:DY

发布时间:2020年03月15日 - 16:03

最后更新:2020年03月15日 - 16:03

原始链接:https://hzdy.github.io/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%96%B9%E6%B3%95%E6%95%B4%E7%90%86.html

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